Primeira maneira do Princípio de Indução Matemática:
Seja P(n) uma propriedade relativa aos inteiros. Temos que:
1) P(n) é verdadeira para n = 1
2) P(k) é verdadeira, então P(k+1) é verdadeira
Sendo assim, P (n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ 1
Exemplo: Mostre que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é multiplo de 9.
Solução: Devemos mostrar que n³ + (n+1)³ + (n+2)³ é multiplo de 9
1) Sendo assim, verificamos se para n = 1 é válido
1³ + (1+1)³ + (1+2)³ = 1+8+27 = 36
Sabemos que 36 é multiplo de 9 pois 4x9 = 36
Então, P(n) = 1 é verdade
2) Verificamos, agora, para n = k
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ = 9xN, sendo N um número inteiro.
3) Temos que mostrar também que para n = k+1 é verdadeiro, sendo assim:
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = 9M, onde M é um inteiro.
Desenvolvendo a fórmula (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = 9M, temos:
(k+1)³ + (k+2)³ +k³ + 9k² + 27k +27 = 9M
Sabendo-se que (k+1)³ + (k+2)³ +k³= 9N , temos
9N + 9k² + 27k + 27 = 9M
9 ( N + k² + 3k +3) = 9M
Sendo assim, M = N + k² + 3k +3
Logo fica provado que a soma de três numeros inteiros positivos consecutivos é múltiplo de 9
O Princípio da indução Finita que admite duas formas, sendo que normalmente utilizamos somente a primeira delas, dado que está mais presentes nos textos de matemática, representa uma das ferramentas mais poderosas para demonstrações de Proposições associadas aos Números Inteiros. A escolha do problema me parece bem apropriada, assim, meus parabéns e espero que outros estudiosos possam visitar a sua página e interagir de forma mais intensa. Um abraço e muita matemática para todos os membros ou visitantes do blog. Meu nome é Odair José, sou Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. Decidi interagir pelo fato de que a minha linha de pesquisa consiste exatamente na Teoria Elementar dos Números, na qual esse princípio mostra toda a sua força, enquanto ferramenta demonstrativa.
ResponderExcluirlegal! Gostaria de saber agora o divisível por 9?
ResponderExcluirmas como que essa expressao me garante o resultado. M = N + k² + 3k +3 Nao falta acrescentar algo?
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