Princípio da Indução Matemática

Primeira maneira do Princípio de Indução Matemática:

Seja P(n) uma propriedade relativa aos inteiros. Temos que:

1) P(n) é verdadeira para n = 1
2) P(k) é verdadeira, então P(k+1) é verdadeira
Sendo assim, P (n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ 1



 Exemplo: Mostre que a soma dos cubos de três inteiros positivos consecutivos é multiplo de 9.


 Solução: Devemos mostrar que n³ + (n+1)³ + (n+2)³ é multiplo de 9

               1) Sendo assim, verificamos se para n = 1 é válido

                   1³ + (1+1)³ + (1+2)³ = 1+8+27 = 36 

                 Sabemos que 36 é multiplo de 9 pois 4x9 = 36

                 Então, P(n) = 1 é verdade

              2) Verificamos, agora, para n = k

                  k³ + (k+1)³ + (k+2)³ = 9xN, sendo N um número inteiro.

              3) Temos que mostrar também que para n = k+1 é verdadeiro, sendo assim:

                  (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = 9M, onde M é um inteiro.

Desenvolvendo a fórmula  (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ = 9M, temos:

(k+1)³ + (k+2)³ +k³ + 9k² + 27k +27 = 9M

Sabendo-se que   (k+1)³ + (k+2)³ +k³= 9N , temos

9N + 9k² + 27k + 27 = 9M

9 ( N + k² + 3k +3) = 9M

Sendo assim, M = N + k² + 3k +3

Logo fica provado que a soma de três numeros inteiros positivos consecutivos é múltiplo de 9